Величайшая формула математики | Математика, которая мне нравится
Без дальнейших церемоний, вот она:
Ее обычно называют тождеством Эйлера в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Ее можно увидеть на футболках и кофейных кружках, и несколько опросов среди математиков и физиков удостоили ее такого названия, как “величайшее уравнение” (Crease, Robert P., “The greatest equations ever”).
Ощущение красоты и элегантности тождества происходит из того, что оно сочетает в простой форме пять самых важных чисел математических констант: — основание натурального логарифма, — квадратный корень из и . Глядя на него внимательно, большинство людей задумываются о показателе: что значит возвести число в мнимую степень? Терпение, терпение, мы до этого доберемся.
Чтобы объяснить, откуда возникает эта формула, мы должны сначала получить более общую формулу, найденную Эйлером, а затем показать, что наше равенство является всего лишь частным случаем этой формулы. Общая формула удивительна сама по себе и имеет множество замечательных приложений в математике, физике и технике.
Первый шаг в нашем путешествии — понять, что большинство функций в математике может быть представлено в виде бесконечной суммы по степеням аргумента. Это пример:
Здесь измеряется в радианах, а не в градусах. Мы можем получить хорошее приближение для конкретного значения , используя только несколько первых членов ряда. Это пример ряда Тейлора, и довольно легко вывести эту формулу, используя математический анализ. Здесь я не предполагаю знание математического анализа, поэтому прошу читателя принять ее на веру.
Соответствующая формула для косинуса:
Наконец,
Число — константа, равная , и Эйлер был первым, кто признал его фундаментальное значение в математике и вывел последнюю формулу (две предыдущие были найдены Исааком Ньютоном). О числе написаны книги (например, Maor, E. (1994). e, the story of a number. Princeton University Press), можно также прочитать о нем здесь.
Примерно в 1740 году Эйлер посмотрел на эти три формулы, расположенные приблизительно так, как мы их здесь видим. Сразу видно, что каждое слагаемое в третьей формуле также появляется в любой предыдущей. Тем не менее, половина членов в первых равенствах являются отрицательными, в то время как каждый член в последнем положителен. Большинство людей так бы это и оставили, но Эйлер увидел во всем этом закономерность. Он первый сложил первые две формулы:
Обратите внимание на последовательность знаков в этом ряду: , она повторяется группами по 4. Эйлер заметил, что эта же последовательность знаков получается, когда мы возводим мнимую единицу в целые степени:
Это означало, что можно заменить в последней формуле на и получить:
Теперь знаки соответствуют знакам в предыдущей формуле, и новый ряд совпадает с предыдущим, за исключением того, что члены разложения умножаются на . То есть получаем в точности
Это удивительный и таинственный результат, он свидетельствует о существовании тесной связи между числом и синусами и косинусами в тригонометрии, хотя было известно только из задач, не связанных с геометрией или треугольниками. Кроме ее элегантности и странности, однако, было бы трудно переоценить важность этой формулы в математике, которая увеличивалась с момента ее открытия. Она появляется везде, и не так давно вышла книга примерно в 400 страниц (Nahin P. Dr. Euler’s Fabulous Formula, 2006), посвященная описанию некоторых приложений этой формулы.
Обратите внимание, что старый вопрос о мнимых показателях в настоящее время решен: для возведения в мнимую степень просто поставьте мнимое число в формулу Эйлера. Если основание – число, отличное от , требуется только ее незначительная модификация.
Теперь вернемся к волшебному равенству. Мы можем подставить в него любое вещественное число , и в результате получим некоторое комплексное число. Один возможный выбор для — это . Вспомним из тригонометрии, что радиан — это 180 градусов. Косинус 180 градусов равен , а синус равен .
Поэтому
, или
Все это дает понятие о мощи и творческих способностях Леонарда Эйлера, и о том, почему его иногда называют выдающимся умом восемнадцатого века. Я буду еще писать о нем и некоторых его результатах в серии Euler’s Greatest Hits.
Перевод статьи Larry Phillips, The Greatest Formula in Mathematics, http://brightstartutors.com/blog/2010/01/29/the-greatest-formula-in-mathematics.
Открытые математические проблемы — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 октября 2019; проверки требуют 7 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 октября 2019; проверки требуют 7 правок.Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:
Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
- Проблема Гольдбаха. Каждое ли чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел?[1]
- Проблема Варинга. Функция Харди G(n){\displaystyle G(n)} — наименьшее k{\displaystyle k} такое, что уравнение x1n+x2n+⋯+xkn=N{\displaystyle x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=N} разрешимо при N⩾N0(n){\displaystyle N\geqslant N_{0}(n)}. Значения этой функции известны только для n{\displaystyle n} равных 2 и 4.
- Бесконечно ли множество простых чисел-близнецов?
- Гипотеза Била. Верно ли, что если Ax+By=Cz,{\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z},} где A,B,C,x,y,z{\displaystyle A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z} — натуральные и x,y,z>2{\displaystyle x,\;y,\;z>2}, то A,B,C{\displaystyle A,\;B,\;C} имеют общий простой делитель?
- Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1{\displaystyle 3n+1}).
- Гипотеза Эрдёша. Верно ли, что если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии?
- Числа ван дер Вардена. При каком наименьшем N{\displaystyle N} при любом разбиении множества {1,2,…,N}{\displaystyle \{1,\;2,\;\ldots ,\;N\}} на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7?[2]
- Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными рёбрами и лицевыми диагоналями), главная диагональ которого также имеет целую длину?[3]
- В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу (константы Гервера).
- На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?[4][5]
- Существует ли такая константа A{\displaystyle A}, что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь A{\displaystyle A}, обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?[6]
- Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?[7]
- Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?[8][9]
- Найдётся ли в единичном квадрате точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин рационально?[9][10]
- Задача о 9 кругах. Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
- У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?[11]
- Даны положительные действительные числа S0,…,Sn{\displaystyle S_{0},\;\ldots ,\;S_{n}}. Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам?[источник не указан 706 дней]
- Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?[12]
- При каком минимальном V{\displaystyle V} любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма V?{\displaystyle V?}[13]
- Чему равно хроматическое число n{\displaystyle n}-мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет (Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера).
- Задача Томсона. Как разместить n{\displaystyle n} одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для n=2,3,4,6,12{\displaystyle n=2,\;3,\;4,\;6,\;12})[14]. Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из n{\displaystyle n} точек?
- Как разместить n{\displaystyle n} точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?[15]
- Для каждой пары натуральных чисел (n,k){\displaystyle (n,\;k)} найти такое наименьшее действительное число d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}, что любое множество единичного диаметра в n{\displaystyle n}-мерном евклидовом пространстве можно разбить на k{\displaystyle k} подмножеств диаметром не больше d(n,k){\displaystyle d(n,\;k)}. Задача решена только в нескольких частных случаях[16][17].
- Чему равна площадь множества Мандельброта, и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08[18].
- Задача со счастливым концом. При каком минимальном m{\displaystyle m} среди любых m{\displaystyle m} точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого n{\displaystyle n}-угольника, и верно ли, что m=1+2n−2{\displaystyle m=1+2^{n-2}}? Решение известно только для n<7{\displaystyle n<7}. Результат для n=6{\displaystyle n=6} (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
- Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана, которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11[19].
- В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой?[20]
- Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году[21][22][23].
- Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1?[источник не указан 706 дней]
- Гипотеза Боннесена — Фенхеля. Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?[24][25][26]
- Cуществует ли для каждого многоугольника и ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0} такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем ϵ{\displaystyle \epsilon } от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?[27]
Задачи упаковки[править | править код]
- Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса R{\displaystyle R}?[28]
- Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?[29]
- Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?[29]
Многомерные пространства[править | править код]
- Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?[7]
- Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
- Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге [34].
- Обратная теорема теории Галуа. Для любой конечной группы H{\displaystyle H} существует поле алгебраических чисел F{\displaystyle \mathbf {F} }, такое что F{\displaystyle \mathbf {F} } является расширением поля рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} } и Gal(F/Q){\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbf {F} /\mathbb {Q} )} изоморфна H{\displaystyle H}.[источник не указан 2568 дней]
- Любая конечно заданная группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно[35].
- Существует ли простая группа, которая не является трансфинитно сверхпростой?[36]
- Является ли кольцо периодов полем?
- Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы, все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?[37]
- Проблема Л. С. Понтрягина Пусть G{\displaystyle G} — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства Γ{\displaystyle \Gamma }, гомеоморфного n{\displaystyle n} — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства Γ{\displaystyle \Gamma } на единичную сферу Sn{\displaystyle S^{n}} евклидова (n+1){\displaystyle (n+1)} — мерного пространства, при котором группа G{\displaystyle G} переходит в некоторую группу движений сферы Sn{\displaystyle S^{n}}?[38].
- Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов, колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток?[39].
- Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп[39].
- Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?[40]
- Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности M{\displaystyle M} иметь мощность 2M{\displaystyle {2}^{M}}?[41]
- Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?[42]
- Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца[43].
- Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге[44].
- Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество S{\displaystyle S} относительно дополнения в множестве ω{\displaystyle \omega }[45]
- Формулировки 50{\displaystyle 50} нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге[46]
Коуровская тетрадь[править | править код]
Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп. Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках[47][48][49].
Днестровская тетрадь[править | править код]
Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей[50].
Свердловская тетрадь[править | править код]
Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп[51][52].
Эрлагольская тетрадь[править | править код]
Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей[53].
- Гипотеза Римана. Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой Re(z)=1/2{\displaystyle \mathrm {Re} (z)=1/2}?[54]
- Чему равна постоянная Миллса? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
- До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e}; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа π{\displaystyle \pi } бесконечное количество раз.
- Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным?[55]
- Является ли ln2{\displaystyle \ln 2} нормальным числом?[56]
- Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина, хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа π{\displaystyle \pi }, Постоянная Эйлера — Маскерони, сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
- Сходятся ли ряды ∑n=1∞1n3sin2n{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}}} и ∑n=1∞1n3cos2n?{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\cos ^{2}n}}?}[57] Оба ряда имеют спорадически большие значения в числителях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.
Вопросы иррациональности[править | править код]
- Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони, постоянная Каталана, постоянная Бруна, постоянная Миллса, постоянная Хинчина, числа π+e,π−e,π⋅e,πe,πe,π2,lnπ,ππ,eπ2,2e,ee,eee.{\displaystyle \pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2}},\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2}},2^{e},e^{e},e^{e^{e}}.} Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом[58][59][60][61][62][63].
- Неизвестно, являются ли π{\displaystyle \pi } и e{\displaystyle e} алгебраически независимыми.
- Неизвестно, являются ли nπ{\displaystyle {^{n}\pi }} или ne{\displaystyle {^{n}e}} целыми числами при каком-либо положительном целом n{\displaystyle n} (см. тетрация). Неизвестно даже, является ли 4π=ππππ{\displaystyle {^{4}\pi }=\pi ^{\pi ^{\pi ^{\pi }}}} целым (это число имеет свыше 1017 цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
- Неизвестно, может ли nq{\displaystyle {^{n}q}} быть целым, если n{\displaystyle n} — положительное целое число, а q{\displaystyle q} — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях n=1,2,3{\displaystyle n=1,\,2,\,3} ответ отрицателен)[64].
- Неизвестно, является ли положительный корень уравнения 3x=2,x=1,47668433…{\displaystyle {^{3}x}=2,\,x=1{,}476\;684\;33\dots } алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
- Неизвестно, является ли положительный корень уравнения 4x=2,x=1,44660143…{\displaystyle {^{4}x}=2,\,x=1{,}446\;601\;43\dots } рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты из любого числа, большего 1, также открыта.
- Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: π,π2,ln2,ln3,ζ(3){\displaystyle \pi ,\pi ^{2},\ln 2,\ln 3,\zeta (3)}[65].
- Неизвестно, является ли первое число Скьюза eee79{\displaystyle e^{e^{e^{79}}}} целым числом.
- Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана ζ(2n+1){\displaystyle \zeta (2n+1)} для всех натуральных n{\displaystyle n}?
- Трансцендентны ли значения гамма-функции Γ(1/n){\displaystyle \Gamma (1/n)} для всех целых n>1{\displaystyle n>1}? Известно, что Γ(1/2), Γ(1/3),[66] Γ(1/4),[67] и Γ(1/6) трансцендентны.[67]
- Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума?
- Трансцендентна ли постоянная Пелля?[68]
- Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?
- Существуют ли Т-числа по классификации К. Малера?[69][70]
- Список из нескольких нерешенных задач, связанных с гипотезой Малера, есть в книге[71].
- Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
- Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
- Гипотеза Эрдёша — Реньи. Если k{\displaystyle k} — фиксированное целое число k⩾3{\displaystyle k\geqslant 3}, то lim inf(per(A))1n>1{\displaystyle \liminf(\mathrm {per} \,(A))^{\frac {1}{n}}>{1}}
Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
Для арифметических корней:
Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
Логарифм произведения:
Логарифм дроби:
Вынесение степени за знак логарифма:
Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
Формула суммы арифметической прогрессии:
Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
К оглавлению…
Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
ТОП-50 Важнейших формул по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Знание формул по математике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по математике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены 50 важнейших формул по математике.
Изучать ТОП-50 Важнейших формул по математике онлайн:
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Какя самая сложная формула в химии??7
Самой сложной можно считать формулу дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) . Молекулу, в которой кодируется геном организма. Её молекулярный вест достигает миллиардов. Растянутая в линию, молекула ДНК будет иметь длину до 3 см. Ничего сложнее в природе нет.
формула любви
Никатиамидадениндинуклеотидфосфат — см. процесс фотосинтеза
Самым сложным веществом неполимерного строения является <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Цианокобаламин» target=»_blank» >Витамин B12</a> <img src=»/img/c.gif»> Есть еще Циклопентадиенилтрикарбонилгидридвольфрам. C5H5W(CO)3H И еще есть Триптофансинтетаза А протеина — белок, мутно-белого цвета молекула Самое длинное официальное слово в английском языке имеет 1,913 букв и является элементом к химической формуле C1289h3051N343O375S8: Methionylglutaminylarginyltyrosylglutamylserylleu c ylphenylalanylalanylglutaminyl leucyllysylgl utamylarginyllysyglutamylgycylalanylphenylalanylv a lylprolylphenylalanylvalylthre onylleucylgl ycylaspartylprolylglycyllisoleucylglutamylglutami n ylserylleucyllysylisoleucylasp artylthreonylleu cylisoleucylglutamylalanylglycylalanylaspartylala n ylleucylglutamylleucylglycylis oleucylprolylph enylalanylserylaspartylprolylleucylalanylaspartyl g lycylprolylthreonylisoleucylgl utaminylaspara ginylalanylthreonylleucylarginylalanylphenylalany l alanylalanylglycylvalylthreony lprolylalanylgl utaminylcysteinylphenylalanylglutamylmethionylleu c ylalanylleucylisoleucylarginyl glutaminyllys ylhistidylprolylthreonylisoleucylprolylisoleucylg l ycylleucylleucylmethionyltyros ylalanlylasparagi nylleucylvalylphenylalanylasparaginyllysylglycyli s oleucylaspartylglutamylphenyla lanyltyrosylal anylglutaminylcysteinylglutamyllysylvalylglycylva l ylaspartylsrylvalylleucylvalyl alanylaspartylv alylprolylvalylglutaminylglutamylserylalanylproly l phenylalanylarginylglutaminyla lanylalanylleu cylarginylhistidylasparaginylvalylalanylprolyliso l eucylphenylalanylisoleucylcyst einylprolylprolyl aspartylalanylaspartylaspartylaspartylleucylleucy l arginylglutaminylisoleucylalan ylseryltyrosylg lycylarginylglycyltyrosylthreonyltyrosylleucylleu c ylserylarginylalanylglycylvaly lthreonylglycylal anylglutamylasparaginylarginylalanylalanylleucyll e ucyllysylglutamyltyrosylaspara ginylalanylal anylprolylprolylleucylglutaminylglycylphenylalany l glysylisoleucylserylalanylprol ylaspartylgluta minylvalyllysylalanylalanylisoleucylaspartylalany l glycylalanylalanylglycylalanyl isoleucylserylgl ycylserylalanylisoleucylvalyllysylisoleucylisoleu c ylglutamylglutaminylhistidylas paraginylisoleuc ylglutamylprolylglutamyllysylmethionylleucylalany l alanylleucyllysylvalylphenylal anylvalylgluta minylprolylmethionyllysylalanylalanylthreonylargi n ylserine Простое название белка
Формула успешных взаимоотношений! Практически ни кто её не знает, поэтому она самая-самая сложная!
та которую ещё не вывели=)
Реакции при Поцелуе двух влюбленных
<a rel=»nofollow» href=»https://ru.wikipedia.org/wiki/Майтотоксин» target=»_blank»>https://ru.wikipedia.org/wiki/Майтотоксин</a> вот
Циклопентадиенилтрикарбонилгидридвольфрам. C5H5W(CO)3H
Самое длинное официальное слово в английском языке имеет 1,913 букв и является элементом к химической формуле C1289h3051N343O375S8: Methionylglutaminylarginyltyrosylglutamylserylleu c ylphenylalanylalanylglutaminyl leucyllysylgl utamylarginyllysyglutamylgycylalanylphenylalanylv a lylprolylphenylalanylvalylthre onylleucylgl ycylaspartylprolylglycyllisoleucylglutamylglutami n ylserylleucyllysylisoleucylasp artylthreonylleu cylisoleucylglutamylalanylglycylalanylaspartylala n ylleucylglutamylleucylglycylis oleucylprolylph enylalanylserylaspartylprolylleucylalanylaspartyl g lycylprolylthreonylisoleucylgl utaminylaspara ginylalanylthreonylleucylarginylalanylphenylalany l alanylalanylglycylvalylthreony lprolylalanylgl utaminylcysteinylphenylalanylglutamylmethionylleu c ylalanylleucylisoleucylarginyl glutaminyllys ylhistidylprolylthreonylisoleucylprolylisoleucylg l ycylleucylleucylmethionyltyros ylalanlylasparagi nylleucylvalylphenylalanylasparaginyllysylglycyli s oleucylaspartylglutamylphenyla lanyltyrosylal anylglutaminylcysteinylglutamyllysylvalylglycylva l ylaspartylsrylvalylleucylvalyl alanylaspartylv alylprolylvalylglutaminylglutamylserylalanylproly l phenylalanylarginylglutaminyla lanylalanylleu cylarginylhistidylasparaginylvalylalanylprolyliso l eucylphenylalanylisoleucylcyst einylprolylprolyl aspartylalanylaspartylaspartylaspartylleucylleucy l arginylglutaminylisoleucylalan ylseryltyrosylg lycylarginylglycyltyrosylthreonyltyrosylleucylleu c ylserylarginylalanylglycylvaly lthreonylglycylal anylglutamylasparaginylarginylalanylalanylleucyll e ucyllysylglutamyltyrosylaspara ginylalanylal anylprolylprolylleucylglutaminylglycylphenylalany l glysylisoleucylserylalanylprol ylaspartylgluta minylvalyllysylalanylalanylisoleucylaspartylalany l glycylalanylalanylglycylalanyl isoleucylserylgl ycylserylalanylisoleucylvalyllysylisoleucylisoleu c ylglutamylglutaminylhistidylas paraginylisoleuc ylglutamylprolylglutamyllysylmethionylleucylalany l alanylleucyllysylvalylphenylal anylvalylgluta minylprolylmethionyllysylalanylalanylthreonylargi n ylserine
Предложения со словосочетанием СЛОЖНЫЕ ФОРМУЛЫ
Нужны знания сложных формул и чертежей, чтобы закладывать и строить сразу несколько, десятки типовых кораблей. И то придётся сложные формулы и их доказательства чертить на полтетради. Мы знаем направление падения яблока, величину его ускорения, пишем сложные формулы, но суть явления нам не известна. Размышления аналитического ума могут включать в себя невероятные математические операции, замысловатые повороты символической логики, сложные формулы, необходимые, например, при проектировании самолётов, ракет. Стоит только другому человеку объяснить этот «волшебный» случай с «научной» точки зрения, нарисовать сложные формулы и сказать пару умных фраз, и событие перестаёт быть «удивительным», а становится обыденным.Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.
Вопрос: аккордеонист — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?
Положительное
Отрицательное
Вообще премия за время простоя нами рассчитывалась по довольно сложной формуле, ибо незаинтересованность в простое ходит рядом с незаинтересованностью в его регистрации, а заинтересованность в регистрации соседствует с заинтересованностью в самом простое. Сложная формула должна была «расщепить» все эти интересы и правильно сориентировать и замотивировать операторов. Я каждый раз ждал сложных формул, правил, а он говорил что-то о том же мёде. Рассчитывается она на основе достаточно сложных формул, которые учитывают уровень экономического развития страны, степень вовлечённости её в мировое хозяйство в целом. Отец, перед тем, как уйти, при помощи сложной формулы вызвал к жизни арифметического пса. Базу этой науки составляло множество сложных формул и уравнений, без знания которых невозможно было переходить к практике. Это слово было мне тогда знакомо не больше, чем сложная формула из не любимой математики. Многие читатели и клиенты пришли ко мне, уже получив диплом MBA, потратив десятки (а кто и сотни) тысяч долларов на овладение сложными формулами финансовых вычислений и статистических моделей, затем лишь, чтобы осознать: программа MBA совсем не учит, как создать успешное предприятие или заставить уже существующее работать эффективнее. И не надо бояться сложных формул или каких-то непонятных научных терминов, которыми под завязку напичканы даже небольшие статьи в научных журналах. Возможно у них хорошая память, и они могут запомнить очень много сложных формул и мудрёных научных терминов. Он жил в мире высшей математики, сложных формул, теорем и научных определений. Поэтому, если вы хотите понять физику небесных тел несколько глубже, чем это обычно излагается в массовой популярной литературе, но не готовы сразу разбираться со множеством сложных формул, то эта книга для вас. Следующие друг за другом формулы разделяются между собой запятой, сложные формулы — точкой с запятой. Имеются довольно сложные формулы и механизмы расчёта стоимости действующего бизнеса. Поэтому и понять, где она могла съесть или выпить что-либо, начиненное ядом весьма сложной формулы, оказалось проблематично. Потому что встречает термины и непонятные слова, ненужные и сложные формулы. Древние славяне жили на нетронутой цивилизацией земле и не знали сложных формул и теорем. Он преподносил это как теорию, в которую сам верил, но верил так же, как верят в сложные формулы. Автор постаралась избежать сложных формул и подробностей, касающихся аппаратной реализации преобразований. — Сейчас, когда вся моя эзотерическая библиотека давно уже выменена на муку и картофель, я не могу с книгой в руках показать вам те сложные формулы и максимы, которые путеводили нами, магами, в годы наших ученических странствий. При построении сложных формул, в состав которых входят знаки суммирования, произведения, интегрирования, дифференциалы, выражение можно разместить на отдельных строках. При построении сложных формул, в состав которых входят знаки суммирования, произведения, интегрирования, дифференциалы, выражения можно разместить на отдельных строках. Можно создать стандартные блоки из фрагментов работы, которые у вас будут часто повторяться (например, структура однотипных таблиц, сложные формулы, схемы, заголовки разделов или даже тема работы, если она у вас большая). Без сложных формул и вычислений мы попробуем разобраться в законах волновой оптики и квантовой механики, узнаем, как долго и упорно люди шли к пониманию этих явлений. Но в этой работе никаких сложных формул и научных расчётов я приводить не собираюсь. Когда я ищу менеджеров, я ищу не тех, кто просыпается среди ночи и бормочет сложные формулы. Пугающий жаргон и сложные формулы отталкивали непрофессионалов и не входили в круг их интересов. Закрыв глаза, я стала мысленно возводить сложную формулу трудоёмкого заклятия. В математике, химии, всех точных науках мы раскрываем сложные формулы, сначала дифференцируя их, потом интегрируя. Он написал программу, где было много-много сложных формул и поручил компьютеру решить поставленную задачу. Торговые системы, в основу которых положены технические индикаторы, заменяют время на наручных часах сложной формулой в надежде на то, что часы будут работать более точно. Движения были странные, словно он выписывал сложные формулы или иероглифы. Первый бывает при использовании насыщенных и чистых моноароматов, второй — при удачной сложной формуле композиции. Пластин было пять, все разные, все початые, на оборотной стороне каждой — сложные формулы, незнакомые символы, знаки. Но вам, собственнику, и не нужно изучать сложные формулы и непонятные слова. — Там сложная формула, я сам до конца, да, по-моему, никто толком не понимает. Не следует вдаваться сразу в сложные формулы, но нужно идти от поразительных свидетельств каждого дня. Слишком сложные формулы имели магические клятвы, и слишком сурово карался клятвопреступник, чтобы подобными словами можно было разбрасываться из-за пустяков. Совершенно ясно, что на седой волос нужна большая концентрация красящих пигментов и очень сложная формула, высокий процент окислителя. Казалось бы, в общественных дисциплинах нет сложных формул, которые нужно понимать и хорошо запоминать. — Да, наверное, кому-то интересно изучать химические элементы и сложные формулы, а кому-то, например, тебе, взбираться не вершину горы и рисовать пейзажи. Для расчёта суточной нормы калорий существует не очень сложная формула. Расчёт вёлся по какой-то сложной формуле, высчитывающей необходимое количество энергии для создания импульсного заряда в единичном экземпляре и времени его стабильного существования до попадания во врага.Неточные совпадения
Наука сложная, в ней намешаны многие другие науки, присутствует много формул, определений. У таких цветов в формуле цвета RGB имеются отрицательные значения интенсивностей базового цвета, а реализовать не сложение, а вычитание базовых цветов при технической реализации аддитивной модели очень сложно. Тогда можно переходить к самой сложной форме проведения самовнушения — к проработке формул самовнушения с представлениями, что уже требует большей активности и значительных волевых усилий. Именно поэтому специалистам по политической коммуникации нужно эти повторяющиеся формулы хорошо знать, при необходимости выстраивая из них, как из вечных «кирпичиков», те или иных сложные «архитектурные сооружения» эффективных коммуникативных актов. В формулах сложных растворов на первом месте стоит цемент (одно вяжущее), на втором известковое или глиняное тесто (второе вяжущее), а на третьем заполнитель, например 1: 1: 6. Оба француза создали яркие и законченные формулы восприятия такого сложного явления, как целая страна. В ней нет сложных бухгалтерских формул и финансовых выкладок, она написана для «продавцов», наполнена коммуникативными приёмами и проверенными практикой методами воздействия на должника, применимыми в работе «продажников». На деле же формула выглядит несколько сложнее. Сложные соподчинённые формулы прикрепления конструируются посредством альтернативных привязок, обеспечивающих возможность выбора различных моделей поведения. Упомянутая в предыдущем разделе процедура преобразования дескрипторов цвета информационной модели изображения из аппаратно-зависимого цветового пространства устройства ввода (исходного цветового пространства) в эталонное цветовое пространство системы управления цветом стандартна — значения для новых формул цвета вычисляются по сложным, но хорошо известным алгоритмам. Пришли к выводу, что по формуле сложных процентов начальная дата… Химическая формула строительного (жжёного) гипса в действительности сложна. Самое сложное для новичков — формулы заклинаний придётся заучивать наизусть. Основываясь на правиле сохранения размерности физических величин, эту формулу легко мог бы вывести любой старшеклассник, причём, ad initio — без каких-либо предварительных сложных математических преобразований. Термины Н2О и XYZ взяты из современной химической теории, а эта теория несовместима с существованием субстанции, обладающей почти одинаковыми свойствами с водой, но описываемой сложной химической формулой. Все реалии предельно точны, формулы запоминаются мгновенно, — но вот состояние «древнерусской тоски» куда сложней, беспричинней, амбивалентней. Схемы на стенах обозначали последовательность каких-то сложных операций, большая часть этих схем была испещрена непонятными химическими формулами и надписями на иностранном языке. Снимать было не сложно, при условии, что большинство формул нужно проговаривать вслух, но вот что мог сделать некромант, которому попросту рот заклеили?напишите пожалуйста очень длинное сложное уравнение по математике) плевать какое)
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например: \begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} — e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} — e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) — \cos[(n-2)x]. \end{align} Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
баба + баба+ баба + мужик = кто и на какой жениться бабе? ))))))))))
огурец + молоко = (хочю смеятся 5 минут)
Да не бывает таких. Обычно длинное именно решение, а само уравнение довольно короткое. Пожалуй, это из разряда самых длинных: (6A + 4B)cos3x + (4A — 6B)sin3x + x((-5A)sin3x + (12A — 5B)cos3x) + (25A*sin3x + 25B*cosX) = sinx Самым длинным называют <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Фридмана» target=»_blank» >уравнение вселенной</a>.
Уравнение Шрёдингера, самое сложное уравнение в мире <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/544406_5738193693273b18c55e06f6ebe23324_800.png» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/544406_5738193693273b18c55e06f6ebe23324_120x120.png» data-big=»1″>
Посмотри в книгу по квантовой механике, или квантовой физике. Там довольно большой ассортимент подобных уравнений, над некоторыми из которых могут работать ни один год. А может и не один десяток; все от сложности зависит.